viernes, 15 de octubre de 2010

Dinámica del Movimiento Rotaciónal

 Péndulo de torsión
El péndulo de torsión es un ejemplo de movimiento armónico simple, consiste en un disco o cilindro sólido sostenido por una barra delgada. Si se hace girar el disco en la medida de un ángulo . El momento de torsión es directamente proporcional al desplazamiento angular. Se tiene:
donde k’ es una constante que depende del material de que esta hecha la barra delgada. El periodo del movimiento armónico simple angular esta dado por:
donde I es el momento de inercia del sistema de vibración

Péndulo Simple
Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento.
Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armínico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:
El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:
La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:
Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple: .
Comprobamos en la tabla siguiente, con datos de ángulos y sus senos, esta afirmación.
Valores de ángulos y sus senos
Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:
f3.gif (1430 bytes)
Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación:
,con la ecuación obtenida anteriormentef5.gif (275 bytes)
vemos que la pulsación es:,y teniendo en cuenta que
donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:
Período del péndulo
A continuación, tienes un péndulo. Haz click en la masa y coloca distintas longitudes. Observarás como cambia el período, de forma que al aumentar la longitud, aumenta T.


El péndulo físico


Un cuerpo rígido que gira libremente en torno a un eje fijo de rotación, que no coincide con su centro de gravedad, constituye un péndulo físico. Las leyes de la dinámica de rotación establecen que el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual al momento de inercia del cuerpo multiplicado por la aceleración angular a que es sometido:
(1)
Donde M es el momento de las fuerzas que actúan sobre el sistema, I el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de oscilación (O) y el ángulo que nos da la posición del cuerpo respecto de la de equilibrio. Por tanto la derivada segunda de respecto del tiempo dos veces es la aceleración angular del sistema.
Péndulo físico y reversible
Figura 1 - El péndulo físico
El momento de la fuerza de la gravedad que actúa sobre un péndulo físico como el de la figura 1, cuando el sistema forma un cierto ángulo respecto a la posición de equilibrio, se puede expresar, en función de ese ángulo como:
(2)
Donde m es la masa del péndulo, a es la distancia del eje de oscilación O al centro de gravedad y el signo indica que es un momento recuperador, que tiende a llevar al sistema a la posición de equilibrio.
Hemos empleado la aproximación del seno de un ángulo por el propio ángulo, válido para oscilaciones pequeñas, de forma que al realizar la experiencia tendremos que cuidarnos de que esta hipótesis se cumpla, es decir hacer oscilar al péndulo con un ángulo pequeño.
Igualando las dos expresiones anteriores (1) y (2), obtenemos la que nos da el periodo del péndulo físico:
(3)
Para la posterior comparación con los valores experimentales podemos poner, en esta expresión, el momento de inercia respecto al eje de oscilación en función del momento de inercia respecto del centro de masas, a través del teorema de Steiner, en el que el momento del centro de gravedad será la suma del momento de la barra y el de las dos masas con las cuchillas:

Y sustituyendo en la expresión (3), obtenemos:
(4)
En el caso del péndulo simple o péndulo matemático esta expresión se simplifica en la siguiente:
(5)
Donde es la distancia del eje de giro al centro de gravedad que en el péndulo matemático es la longitud del péndulo.
Por tanto, si igualamos las dos expresiones (3) y (5) obtenemos:
(6)
Que nos da la de un péndulo matemático del mismo periodo de oscilación que el péndulo físico que estamos estudiando. A este valor se le llama longitud reducida del péndulo físico.





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