Movimiento Periódico

Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)

donde

• A es la amplitud.
• w la frecuencia angular.
• w t+j la fase.
• j la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.

• La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .

P=2π/ω

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es
x=A sen(w t+j )
Condiciones iniciales
Conociendo la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ en el instante t=0.
x₀=A·senj
v₀=Aw·cosj
se determinan la amplitud A y la fase inicial φ

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

Como la  fuerza  F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial E_p.

La expresión de la energía potencial es

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial E_p=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0
La energía total E, es la suma de la energía cinética E_k y de la energía potencial E_p que es constante.

MAS y movimiento circular

La ecuación de un M.A.S. es
x=A·sen(ωt+φ)

En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular w igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj.

El ángulo w t+j que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ángulo j que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.

Energía en el Movimiento Armónico Simple

La energía cinética de una partícula es Ec = 1/2 mv² = 1/2 mw²A²cos²(wt +f₀), o en función del desplazamiento 

E_c = 1/2 mw²(A²- x²)

Energía potencial

Recordando que F = -dEp/dx y que F = -Kx se obtiene que dEp/dx = Kx

Integrando y eligiendo el cero de la energía potencial en la posición de equilibrio (x=0):

La energía potencial es mínima en la posición de equilibrio y máxima en los extremos x=±A

Sumando la energía cinética y potencial se obtiene la siguiente expresión:

E =Ec +Ep = 1/2 mw²(A²- x²) + 1/2 mw² x² = 1/2 mw²A² = 1/2Kx²

Durante la oscilación, como muestra el diagrama, hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa. La figura muestra una energía total de 15 unidades correspondientes a la línea horizontal negra. La línea vertical roja muestra la diferencia entre la energía total y la potencial (indicada por la línea discontinua sobre el eje de abcisas) y por tanto corresponde a la energía cinética. Los límites de oscilación están determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial y corresponden a los puntos ±A.