Energia Potencial y Conservacion de la Energía

Fundamentos físicos

• Conservación de la energía

A medida que la partícula desliza por la cúpula va aumentando su velocidad. La energía potencial se va transformando en energía cinética. Del principio de la conservacion de la energia  podemos calcular la velocidad del móvil cuando ha descendido una altura h.

• Movimiento circular

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son dos, el peso mg y la reacción de la cúpula N. La reacción de la cúpula tiene dirección radial tal como se indica en la figura.
Como la partícula está describiendo un movimiento circular de radio R. Aplicando la dinámica del movimiento circular

La partícula deja de tener contacto con la cúpula cuando la reacción N se anule. Para el ángulo

Aproximadamente, 48º medidos desde la vertical.
Como vemos el ángulo límite es independiente del radio de la cúpula y de la masa de la partícula.
La partícula alcanza en esta posición una velocidad de

• Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

Una vez que la partícula deja de tener contacto con la cúpula, se mueve bajo la acción de su propio peso, es decir, describe una trayectoria parabolica desde el punto de coordenadasx0=Rsenq y0=Rcosq .

Con velocidad inicial

Ahora es fácil deducir las ecuaciones del movimiento

y calcular el punto de impacto sobre el suelo horizontal, y=0.
 Fuerzas conservativas. Energía potencial

Existe un tipo especial de fuerzas cuyo trabajo realizado a través de cualquier trayectoria que una dos posiciones de la partícula es siempre el mismo...(independencia de la trayectoria).

A las fuerzas con estas características se les denomina fuerzas conservativas, que como vemos realizan un trabajo nulo si la partícula se desplaza a través de una linea cerrada.

Como ejemplo de estas fuerzas vamos a presentar la fuerza gravitatoria en las proximidades de la superficie terrestre (P=mg) y la fuerza recuperadora de un resorte (Hooke), que para mayor simplicidad nos ocuparemos sólo de las deformaciones unidimensionales y elegiremos el origen de nuestro sistema de referencia en el punto de equilibrio del resorte (F=-Kxi)...

Si nos fijamos en las expresiones obtenidas en ambos casos para el trabajo observaremos que éste puede escribirse como la diferencia de una magnitud tomada en dos situaciones diferentes.

Es decir, el trabajo realizado por este tipo de fuerzas también puede expresarse como la variación de una magnitud cambiada de signo. A esta magnitud se le denomina energía potencial y nosotros la representaremos por U.

Resumiendo, diremos, el trabajo realizado por los campos de fuerza conservativos sobre una partícula que se mueve en el interior de ellos entre dos posiciones (A y B) es igual a la variación de la energía potencial, asociada a estos campos, cambiada de signo.

Energía potencial

El siguiente paso podría ser el de plantearnos el cálculo del trabajo conocidas las energías potenciales de la partícula en dos posiciones del campo. Para conocer la energía potencial asociada a una partícula en el interior de un campo conservativo hemos de elegir un lugar del campo -región, espacio perturbado...- donde hagamos la energía potencial de la partícula nula (nivel cero de energías potenciales). Para cada campo de fuerzas conservativo se elegirá un NCEP dependiendo del observador.

Planteándose el cáculo del trabajo realizado por un campo de fuerza conservativo sobre una partícula que se mueve desde una posición cualquiera (A) hasta el NCEP, observaremos que:

el significado físico de la energía potencial asociada a una partícula en el interior de un campo de fuerzas conservativo no es otra cosa que el trabajo realizado por este campo de fuerzas sobre la partícula cuando se desplaza desde donde se encuentre hasta el NCEP.

Así, en los ejemplos que estamos tratando, resulta conveniente elegir como NCEP el suelo, U_suelo=0, si estamos tratando del campo de fuerzas gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre y si tratamos del campo de fuerzas elásticas (Hooke) resulta cómodo elegir el NCEP en el punto de equilibrio del resorte -si además hemos colocado el origen del observador en el p.e.- tendremos que U_x=0=0. Las expresiones para la energía potencial en ambos campos quedarán como sigue:

Asi pues, la energía potencial -gravitatoria- asociada a una partícula de masa m por encontrarse en el interior del campo gravitatorio terrestre a una distancia y del suelo es U(y)=mgy y la energía potencial -elástica- asociada a una partícula que se encuentra unida al extremo libre de un resorte (Hooke) deformado una distancia x de su posición de equilibrio es U(x)=Kx²/2.

Si quisiéramos obtener la expresión de la energía potencial asociada a una partícula en el interior de cualquier otro tipo de campos de fuerzas conservativos sólo tendríamos en cuenta el significado físico de U(x,y,z) y la elección del NCEP.

Hablemos ahora de las fuerzas contra campo y así poder definir, también, la U(x,y,z) en función de aquellas. Las FCC son fuerzas de igual módulo, dirección y de sentido contrario a las fuerzas del campo. Por ello se puede decir también que laenergía potencial asociada a una partícula en un lugar del interior de un campo de fuerzas conservativo coincide con eltrabajo realizado por la FCC cuando la partícula se desplaza desde el NCEP hasta dicho lugar.